[BOJ/C++] 백준 2749번: 피보나치 수 3

 

🔗 문제 링크 : https://www.acmicpc.net/problem/2749

 

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문제

피보나치 수는 0과 1로 시작한다. 0번째 피보나치 수는 0이고, 1번째 피보나치 수는 1이다. 그 다음 2번째 부터는 바로 앞 두 피보나치 수의 합이 된다.

이를 식으로 써보면 Fn = Fn-1 + Fn-2 (n ≥ 2)가 된다.

n=17일때 까지 피보나치 수를 써보면 다음과 같다.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597

n이 주어졌을 때, n번째 피보나치 수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

 

 

 

 

 

입출력 예시

입력

첫째 줄에 n이 주어진다. n은 1,000,000,000,000,000,000보다 작거나 같은 자연수이다.

 

 

출력

첫째 줄에 n번째 피보나치 수를 1,000,000으로 나눈 나머지를 출력한다.

 

 

 

입출력 예시

 

 

 

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풀이 

❗ 입력값 n의 범위가 매우 크므로 입력값을 int 대신 long long으로 받아주고, 일반적인 Dynamic Programming (동적 계획법)에 피사노 주기(Pisano Period)를 이용해 풀이하였다.

✒ 피사노 주기(Pisano Period)란?

피보나치 수열로 모듈로 연산을 했을 때, 주기적으로 반복되는 부분을 의미한다.

즉, 피보나치 수열을 어떤 수 m으로 나눈 나머지를 구했을 때, 나머지가 반복되는 주기를 구하는 것이다.

 

 

피사노 주기 관련 백준 문제

[BOJ/C++] 백준 9471번: 피사노 주기

과거에 위 문제를 풀면서 피사노 주기는 어디에 쓰일까..? 궁금했는데, 이 문제처럼 n이 어마어마하게 클 때, n번째 피보나치 수를 구할 때 쓰인다는 것을 알게 되었다.🤣

 

 

 

풀이과정은 아래와 같다.

• GetPrisanoPriod()를 이용해 주기(P)를 구한다.
• 주기가 P라는 것은, N번째 피보나치 수를 1,000,000로 나눈 나머지는 N%P번째 피보나치 수를 1,000,000으로 나눈 나머지와 같다.
  • 예) fib[N] % 1,000,000 == fib[N%P] % 1,000,000
• 따라서, fib[N%P]를 출력한다.

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

/* 피사노 주기 구하는 함수*/
int GetPisanoPeriod(int m) {
    int previous = 1;
    int current = 1;
    int temp;
 
    for (int i = 0; i < m * m; ++i) {
        temp = (previous + current) % m;
        previous = current;
        current = temp;
 
        //. 주기를 찾은 경우
        if (previous == 1 && current == 1) {
            return i + 1;
        }
    }
 
    return 0;
}

int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(0);
    long long n;
    cin >> n;

    int mod = 1000000;
    int p = GetPisanoPeriod(mod);   // 1500000
    vector<int> fib(p);
    fib[0] = 0;
    fib[1] = 1;
    for (int  i = 2; i < p; i++) {
        fib[i] = (fib[i-1] + fib[i-2]) % mod;
    }

    cout << fib[n%p];
}

 

 

 

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